РЕШУ УРОК, планиметрия: задания, ответы, решения

Тип 1 № 3398

i

1°. Касающиеся окружности. Линия центров. Окружности, имеющие единственную общую точку, называются касающимися. Если центры окружностей лежат по разные стороны от касательной, то касание называется внешним, а если по одну сторону  — внутренним.

Линией центров двух окружностей называется прямая, проходящая через центры этих окружностей.

Теорема 1. Точка касания (внешнего или внутреннего) двух окружностей лежит на линии их центров.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 1 № 3328

i

Примечание об определении касания. В общем случае понятие касания фигур не связано с единственностью их общей точки. К примеру, вертикальная прямая, пересекающая параболу $y=x в квадрате$ или гиперболу $y = дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби ,$ имеет с ними единственную общую точку, но она не является точкой касания. Или нетрудно представить себе параболу и гиперболу, имеющие две общие точки, в одной из которых касательная будет общей, а в другой  — нет. Поэтому касающимися окружностями правильнее было бы назвать окружности, имеющие общую касательную.

Однако справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если две окружности, имеют единственную общую точку, то они имеют в этой точке и общую касательную.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 1 № 3397

i

2°. Взаимное расположение двух окружностей.

Две окружности на плоскости не могут больше двух общих точек, поскольку через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, описанная вокруг треугольника, вершинами которого являются эти точки. Две окружности могут иметь две общие точки (такие окружности называются пересекающимися), одну общую точку (касающиеся окружности) или не иметь общих точек (непересекающиеся окружности). Касание может быть внешним или внутренним. Если две окружности не имеют общих точек, то одна лежит либо внутри, либо вне другой.

Окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими. При равных радиусах они совмещаются, при различных радиусах  — не имеют общих точек, поскольку одна лежит внутри другой.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 1 № 3327

i

Теорема 1. Пусть R и r  — радиусы окружностей, причём $R больше r,$ и пусть d  — расстояние между центрами окружностей. Тогда:

если $d больше R плюс r,$ то окружности не пересекаются и одна лежит вне другой,

если $d=R плюс r,$ то окружности касаются внешним образом,

если $R минус r меньше d меньше R плюс r,$ то окружности пересекаются,

если $d=R минус r,$ то окружности касаются внутренним образом,

если $d меньше R минус r,$ то окружности не пересекаются, причём и одна лежит внутри другой.

Примечание. Если окружности имеют одинаковые радиусы, то первые три соотношения остаются верными, последнее соотношение невозможно, а случай $d = 0$ соответствует наложению одной окружности на другую.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 1 № 3329

i

Теорема 2. Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна линии центров и делится ею пополам.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 1 № 3330

i

3°. Общие касательные к непересекающимся окружностям. Проведём к двум непересекающимся окружностям две внешние и две внутренние касательные.

Теорема 1. Общие внешние и внутренние касательные к двум окружностям неравных радиусов пересекаются на линии центров этих окружностей.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 1 № 3331

i

Теорема 2. Длины отрезков общих внешних касательных, заключённых между точками касания, равны. Длины отрезков общих внутренних касательных, заключённых между точками касания, равны.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 1 № 3399

i

Задача 1. Расстояние между центрами непересекающихся окружностей равно a. Докажите, что точки пересечения общих внешних касательных с общими внутренними касательными лежат на одной окружности и найдите её радиус.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 1 № 3353

i

Задача 2. Даны окружности радиусов r и R $левая круглая скобка R больше r правая круглая скобка .$ Расстояние между их центрами равно $a левая круглая скобка a больше R плюс r правая круглая скобка .$ Найдите отрезки общих касательных, заключённые между точками касания.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 1 № 3400

i

4°. Общие касательные к касающимся окружностям.

Теорема 1. Пусть окружности неравных радиусов r и R касаются внешним образом. Тогда отрезок общей внешней касательной, заключённый между точками касания, равен $2 корень из: начало аргумента: R r конец аргумента .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 1 № 3401

i

Теорема 2. Пусть окружности различных радиусов r и R с центрами в точках O₁ и O₂ соответственно касаются внешним образом в точке K. Пусть также общие внешние касательные касаются этих окружностей в точках A₁ и A₂, B₁ и В₂. Обозначим MN отрезок общей внутренней касательной, заключённый между внешними касательными. Тогда:

а)  Внутренняя касательная делит пополам отрезки внешних касательных;

б)  Отрезки общих внешних касательной, заключённые между точками касания, и отрезок общей внутренней касательной, заключённый между внешними касательными, равны;

в)  Углы B₁KB₂ и O₁NO₂  — прямые;

г)  Четырёхугольник A₁A₂B₂B₁  — вписанная и описанная трапеция;

д)  Высота этой трапеции равна $дробь: числитель: 4Rr, знаменатель: R плюс r конец дроби .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 1 № 3948

i

Две окружности неравных радиусов R и r касаются друг друга и сторон данного угла. Найдите радиус окружности с центром в точке касания этих окружностей, касающейся сторон того же угла.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 28 № 986

i

Докажите утверждение. Если две окружности и прямая пересекаются в одной и той же точке (или точках), то эта прямая делит пополам каждый общий внешний касательный отрезок данных окружностей.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 28 № 984

i

Пусть две окружности касаются прямой l в точке O, Р  — любая точка прямой l, отличная от О (см. рис.) Докажите, что тогда $PM умножить на PC=PK умножить на PD.$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.