4°. Общие касательные к касающимся окружностям.
Теорема 1. Пусть окружности неравных радиусов r и R касаются внешним образом. Тогда отрезок общей внешней касательной, заключённый между точками касания, равен 
Пусть точка O1 — центр окружности радиусом r, точка O2 — центр окружности радиусом R, и пусть A и B — точки касания окружностей с касательной. Не ограничивая общности, будем считать, что 
Покажем, что 
Из точки O1 проведём к O2B перпендикуляр O1H. Paдиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, потому отрезки O1A1 и O2A2, перпендикулярные общей касательной, параллельны между собой. Отрезки AB и O1H, перпендикулярные радиусу O2B, также параллельны между собой. Следовательно, четырёхугольник O1ABH — параллелограмм, являющийся прямоугольником. Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому 
Треугольник O1HO2 — прямоугольный, в нём 
По теореме Пифагора находим:
Следовательно, 