Пусть общие внеш­ние ка­са­тель­ные к двум окруж­но­стям пе­ре­се­ка­ют­ся в точке S. Дан­ные окруж­но­сти впи­са­ны в угол с вер­ши­ной S, по­это­му цен­тры окруж­но­стей лежат на бис­сек­три­се этого угла. Сле­до­ва­тель­но, точка S лежит на линии цен­тров.

Если же S  — точка пе­ре­се­че­ния общих внут­рен­них ка­са­тель­ных, то окруж­но­сти впи­са­ны в угол с вер­ши­ной S и в угол, вер­ти­каль­ный с ним. Сле­до­ва­тель­но, точка S лежит на пря­мой, со­дер­жа­щей бис­сек­три­сы этих углов, то есть на линии цен­тров.

Таким об­ра­зом, линии цен­тров при­над­ле­жат оба цен­тра окруж­но­стей, точка пе­ре­се­че­ния их общих внеш­них ка­са­тель­ных и точка пе­ре­се­че­ния общих внут­рен­них ка­са­тель­ных. Тре­бу­е­мое до­ка­за­но.

При­ме­ча­ние. До­ка­за­тель­ство со­хра­ня­ет силу и для внут­рен­них ка­са­тель­ных окруж­но­стей од­но­го ра­ди­у­са. Общие внеш­ние ка­са­тель­ные окруж­но­стей од­но­го ра­ди­у­са не пе­ре­се­ка­ют­ся.