Теорема 2. Пусть окружности различных радиусов r и R с центрами в точках O1 и O2 соответственно касаются внешним образом в точке K. Пусть также общие внешние касательные касаются этих окружностей в точках A1 и A2, B1 и В2. Обозначим MN отрезок общей внутренней касательной, заключённый между внешними касательными. Тогда:
а) Внутренняя касательная делит пополам отрезки внешних касательных;
б) Отрезки общих внешних касательной, заключённые между точками касания, и отрезок общей внутренней касательной, заключённый между внешними касательными, равны;
в) Углы B1KB2 и O1NO2 — прямые;
г) Четырёхугольник A1A2B2B1 — вписанная и описанная трапеция;
д) Высота этой трапеции равна 
а) Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому 
Тогда 
Аналогично: 
б) Равенство 
было показано ранее (задача 3400). Следовательно, 
в) Докажем, что углы B1KB2 и O1NO2 — прямые. Действительно, в треугольнике B1KB2 медиана KN, проведённая к стороне B1B2 равна её половине, а значит, этот треугольник — прямоугольный.
Центры окружностей лежат на биссектрисах углов между касательными, проведёнными из точки M, а биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.
г) Четырёхугольник A1A2B2B1 — трапеция, так как в равнобедренных треугольниках A1SB1 и A2SB2 биссектриса угла S является высотой, и потому отрезки A1B1 и A2B2 параллельны между собой. Эта трапеция вписанная, так как она равнобедренная. Поскольку MN — средняя линия, имеем:
Следовательно, трапеция A1A2B2B1 — описанная.
д) Из вершины A1 трапеции проведём её высоту A1P, из центра O1 окружности проведём перпендикуляр O1Q к отрезку O2A2. Стороны углов A2A1P и O1QO2 взаимно перпендикулярны, поэтому эти углы равны. Прямоугольные треугольники A1PA2 и O1QO2 имеют по равному острому углы, а значит, они подобны. Следовательно, 
откуда находим:
