Теорема 1. Пусть R и r — радиусы окружностей, причём 
и пусть d — расстояние между центрами окружностей. Тогда:
если 
то окружности не пересекаются и одна лежит вне другой,
если 
то окружности касаются внешним образом,
если 
то окружности пересекаются,
если 
то окружности касаются внутренним образом,
если 
то окружности не пересекаются, причём и одна лежит внутри другой.
Примечание. Если окружности имеют одинаковые радиусы, то первые три соотношения остаются верными, последнее соотношение невозможно, а случай 
соответствует наложению одной окружности на другую.
1. Пусть окружности пересекаются в хотя бы одной точке. Тогда верно 
Но по условию 
Получили противоречие, значит, если выполнено 
то окружности не пересекаются и одна лежит вне другой.
2. Пусть окружности не касаются внешним образом. Тогда 
или 
Получили противоречие, значит, окружности касаются внешним образом.
3. Пусть окружности не пересекаются. Тогда 
или Получили противоречие, значит, окружности пересекаются.
4. Пусть окружности не касаются внутренним образом. Тогда 
или 
Получили противоречие, значит, окружности касаются внутренним образом.
5. Пусть окружности пересекаются. Тогда 
или Получили противоречие, значит, окружности пересекаются, причём одна лежит внутри другой.