ВЫ­СО­ТЫ ТРЕ­УГОЛЬ­НИ­КА

Вы­со­та тре­уголь­ни­ка  — пер­пен­ди­ку­ляр, про­ведённый из вер­ши­ны к пря­мой, со­дер­жа­щей про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну (то есть к сто­ро­не тре­уголь­ни­ка или ее про­дол­же­нию).

Вы­со­ты ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка лежат внут­ри этого тре­уголь­ни­ка. Вы­со­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, ис­хо­дя­щие из вер­шин ост­рых углов, сов­па­да­ют с его ка­те­та­ми, а вы­со­та, ис­хо­дя­щая из вер­ши­ны пря­мо­го угла, па­да­ет на ги­по­те­ну­зу. Вы­со­та ту­по­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, ис­хо­дя­щая из вер­ши­ны ту­по­го угла, лежит внут­ри тре­уголь­ни­ка, а вы­со­ты, ис­хо­дя­щие из вер­шин его ост­рых углов, лежат вне тре­уголь­ни­ка.

Свой­ство 1. Вы­со­ты тре­уголь­ни­ка или их про­дол­же­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

Свой­ство 2. Ост­рый угол между вы­со­та­ми ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен углу между сто­ро­на­ми, к ко­то­рым про­ве­де­ны эти вы­со­ты.

Свой­ство 3. Угол между вы­со­той и бис­сек­три­сой, про­ведёнными из одной вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка и ле­жа­щи­ми между не­рав­ны­ми его сто­ро­на­ми, равен по­лу­раз­но­сти углов при дру­гих вер­ши­нах.

След­ствие. В не­рав­но­бед­рен­ном пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке бис­сек­три­са пря­мо­го угла делит по­по­лам угол между про­ведёнными к ги­по­те­ну­зе ме­ди­а­ной и вы­со­той.

Свой­ство 4. Бис­сек­три­са угла между не­рав­ны­ми сто­ро­на­ми тре­уголь­ни­ка лежит между ме­ди­а­ной и вы­со­той, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны этого угла.

Свой­ство 5. Рас­сто­я­ние от вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка до ор­то­цен­тра равно про­из­ве­де­нию про­ти­во­ле­жа­щей сто­ро­ны на мо­дуль ко­тан­ген­са угла при этой вер­ши­не:

Свой­ство 6. Про­из­ве­де­ние вы­со­ты тре­уголь­ни­ка, на сто­ро­ну, к ко­то­рой она про­ве­де­на, есть ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная для дан­но­го тре­уголь­ни­ка.

Свой­ство 7. Про­из­ве­де­ние рас­сто­я­ний от ор­то­цен­тра до вер­ши­ны и до ос­но­ва­ния вы­со­ты есть ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная для дан­но­го тре­уголь­ни­ка:

Свой­ство 8. Ос­но­ва­ния высот, про­ве­ден­ных из двух вер­шин не­пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, и тре­тья его вер­ши­на яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми тре­уголь­ни­ка, по­доб­но­го дан­но­му. Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен мо­ду­лю ко­си­ну­са угла при тре­тьей вер­ши­не.

След­ствие. Рас­сто­я­ние между ос­но­ва­ни­я­ми высот, опу­щен­ных на две сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка, равно про­из­ве­де­нию тре­тьей сто­ро­ны на мо­дуль ко­си­ну­са про­ти­во­ле­жа­ще­го угла: