РЕШУ УРОК, планиметрия: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 1 № 3384 Добавить в вариант

Свойство 7. Произведение расстояний от ортоцентра до вершины и до основания высоты есть величина постоянная для данного треугольника: $A H умножить на H A_1=B H умножить на H B_1=C H умножить на H C_1.$

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим остроугольный треугольник ABC. Проведём высоты AA₁ и CC₁. Заштрихованные на рисунке треугольники, общей вершиной которых является ортоцентр, подобны, поэтому:

$дробь: числитель: C_1 H, знаменатель: A H конец дроби = дробь: числитель: A_1 H, знаменатель: C H конец дроби ,$

откуда $C H умножить на H C_1=A H умножить на H A_1.$ Аналогично для высот AA₁ и BB₁. Тогда

$B H умножить на H B_1=C H умножить на H C_1=A H умножить на H A_1.$

Для тупоугольного треугольника нужно аналогичное доказательство.

Источник: Высоты треугольника

Спрятать решение · Помощь