Свойство 5. Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра равно произведению противолежащей стороны на модуль котангенса угла при этой вершине: 
Необходимо рассмотреть три случая: ортоцентр может совпадать с вершиной прямого угла, лежать внутри треугольника или лежать вне треугольника.
Доказательство для прямоугольного треугольника. В этом случае ортоцентр H треугольника ABC находится в вершине его прямого угла А, и потому 
Доказательство для остроугольного треугольника. Пусть высоты AA1, BB1 треугольника ABC пересекаются в точке H. Угол C треугольника ABC равен острому углу между его высотами, поэтому прямоугольные треугольники BA1H и AA1C подобны, а тогда 
откуда 
Доказательство для тупоугольного треугольника. Стороны прямоугольных треугольников АСС1 и ВНС1 взаимно перпендикулярны, а потому их острые углы АСС1 и ВНС1 равны. Следовательно, эти треугольники подобны. Тогда
откуда 
В каждом из случаев 
что и требовалось доказать.