Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 1 № 3946
i

Свой­ство 3. Угол между вы­со­той и бис­сек­три­сой, про­ведёнными из одной вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка и ле­жа­щи­ми между не­рав­ны­ми его сто­ро­на­ми, равен по­лу­раз­но­сти углов при дру­гих вер­ши­нах.

 

След­ствие. В не­рав­но­бед­рен­ном пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке бис­сек­три­са пря­мо­го угла делит по­по­лам угол между про­ведёнными к ги­по­те­ну­зе ме­ди­а­ной и вы­со­той.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

До­ка­за­тель­ство. Имеем:

\angle DCH = \angle DCB минус \angle HCB = дробь: чис­ли­тель: \angle C, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка 90 гра­ду­сов минус \angle B пра­вая круг­лая скоб­ка =
= дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов минус \angle A минус \angle B, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 90 гра­ду­сов плюс \angle B= 90 гра­ду­сов минус дробь: чис­ли­тель: \angle A}2 минус дробь: чис­ли­тель: \angle B, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 90 гра­ду­сов плюс \angle B = дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: конец дроби angle B минус \angle A, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

При­ме­ча­ние. Если в вер­ши­не схо­дят­ся рав­ные сто­ро­ны, бис­сек­три­са сов­па­да­ет с вы­со­той.

 

До­ка­за­тель­ство след­ствия. С одной сто­ро­ны,

\angle DCH = дробь: чис­ли­тель: \angle B минус \angle A, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 90 гра­ду­сов минус \angle A минус \angle A, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 45 гра­ду­сов минус \angle A}.

С дру­гой сто­ро­ны, тре­уголь­ник AMC рав­но­бед­рен­ный, углы при его сто­ро­не АС равны, по­это­му:

\angle MCD = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle C минус \angle ACM = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle C минус \angle A = 45 гра­ду­сов минус \angle A.

Источник: Вы­со­ты тре­уголь­ни­ка
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025