ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА
Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону (то есть к стороне треугольника или ее продолжению).
Высоты остроугольного треугольника лежат внутри этого треугольника. Высоты прямоугольного треугольника, исходящие из вершин острых углов, совпадают с его катетами, а высота, исходящая из вершины прямого угла, падает на гипотенузу. Высота тупоугольного треугольника, исходящая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника, а высоты, исходящие из вершин его острых углов, лежат вне треугольника.
Доказательство. Покажем, что основания высот остроугольного треугольника лежат на его сторонах, основания высот, проведённых из вершин острых углов тупоугольного треугольника лежат на продолжениях его сторон, основание высоты, проведённой из вершины наибольшего угла треугольника, лежит на стороне треугольника.
Если основание А1 высоты AА1 проведённой из острого угла А остроугольного треугольника ABC лежит на продолжении стороны BC за точку B, то в прямоугольном треугольнике AА1B, угол ABА1 — острый, а смежный с ним угол B треугольника ABC — тупой. Противоречие.
Если основание А1 высоты AА1 проведённой из острого угла А тупоугольного треугольника ABC лежит на стороне BC, то в прямоугольных треугольниках AА1B и AА1С углы ABА1 и AСА1 — острые, а тогда треугольник ABC — остроугольный. Противоречие.
Пусть А — наибольший угол треугольника ABC. Предположим, что основание А1 высоты AА1 лежит на продолжении стороны BC за точку B. Тогда ABA1 — острый угол прямоугольного треугольника AA1B, а смежный с ним угол ABC треугольника — тупой, что невозможно, так как тогда наибольшим углом треугольника является угол B.