Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 30 № 1144
i

Най­ди­те синус, ко­си­нус, тан­генс и ко­тан­генс 72°.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Изоб­ра­зим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC с ос­но­ва­ни­ем AC и уг­ла­ми 36°, 72° и 72°. Пусть бо­ко­вая сто­ро­на равна 1, а ос­но­ва­ние при­мем за 2x. Про­ве­дем бис­сек­три­су AD к бо­ко­вой сто­ро­не, тогда по­лу­чим, что тре­уголь­ни­ки ADC и ABD также рав­но­бед­рен­ные. По­это­му AD  =  AC  =  BD  =  2x. Тогда DC=1 минус 2x. По свой­ству бис­сек­три­сы:

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 минус 2x, зна­ме­на­тель: 2x конец дроби рав­но­силь­но 4x в квад­ра­те плюс 2x минус 1=0 \undersetx боль­ше 0\mathop рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 5 минус 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Про­ведём вы­со­ту BB1, она равна

BB_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 5 минус 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те }= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5 плюс ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Те­перь най­дем зна­че­ния си­ну­са и ко­си­ну­са угла 72° из тре­уголь­ни­ка ABB1:

синус \angle BAB_1= дробь: чис­ли­тель: BB_1}1= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из { 5 плюс ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: , конец дроби зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из 2 конец дроби ,

 

ко­си­нус \angle BAB_1= дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 5 минус 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

Тогда

тан­генс \angle BAB_1= дробь: чис­ли­тель: синус \angle BAB_1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус \angle BAB_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 плюс ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 5 минус 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 плюс ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка ко­рень из 5 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 плюс ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 минус 2 ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби =

= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 20 плюс 4 ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 минус 4 ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 плюс ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 минус ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 плюс ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 минус ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 плюс ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 плюс ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 плюс 2 ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та .

 

\ctg \angle BAB_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: тан­генс \angle BAB_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 плюс ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 минус ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 минус ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 плюс ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби =

= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 минус ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 плюс ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 20 минус 8 ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из 5 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Ответ: синус 72 гра­ду­сов = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби , ко­си­нус 72 гра­ду­сов= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , тан­генс 72 гра­ду­сов = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , \ctg 72 гра­ду­сов = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец ар­гу­мен­та .


Аналоги к заданию № 1138: 1139 1140 1141 ... Все

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025