Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 30 № 1138
i

Най­ди­те синус, ко­си­нус, тан­генс и ко­тан­генс 15°.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Для на­хож­де­ния зна­че­ний три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций угла 15° изоб­ра­зим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC с ос­но­ва­ни­ем CB и с уг­ла­ми 30°, 75° и 75°. Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. При­мем его бо­ко­вые сто­ро­ны за еди­ни­цу, а ос­но­ва­ние за x. Най­дем зна­че­ние x по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

x в квад­ра­те =1 плюс 1 минус 2 умно­жить на 1 умно­жить на 1 умно­жить на ко­си­нус 30 гра­ду­сов рав­но­силь­но x в квад­ра­те =2 минус ко­рень из 3 рав­но­силь­но x = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус ко­рень из 3 конец ар­гу­мен­та .

Далее про­ве­дем вы­со­ту AH на ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка CB, она будет равна

h= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 2 минус ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби 2.

Те­перь най­дем зна­че­ния три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций угла 15°:

синус 15 гра­ду­сов= дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: x}2, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус ко­рень из 3 конец ар­гу­мен­та }2= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из { 2 минус ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: конец дроби cdot ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: конец дроби sqrt3 минус 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из 2 конец дроби .

 

ко­си­нус 15 гра­ду­сов= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус синус в квад­ра­те 15 гра­ду­сов конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из 2 конец дроби .

 

тан­генс 15 гра­ду­сов = дробь: чис­ли­тель: синус 15 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 15 гра­ду­сов конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус ко­рень из 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби }=2 минус ко­рень из 3 .

 

\ctg 15 гра­ду­сов = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: тан­генс 15 гра­ду­сов конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 минус ко­рень из 3 конец дроби =2 плюс ко­рень из 3 .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби ;2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ;2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .


Аналоги к заданию № 1138: 1139 1140 1141 ... Все

Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025