1.  Пусть диа­го­на­ли AC и BD тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке  O, точка  M  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния BC, пря­мая MO пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние AD в точке N. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BMO и CNO, а также тре­уголь­ни­ков CMO и ANO по­лу­ча­ем:

Сле­до­ва­тель­но, точка N  — се­ре­ди­на AD.

2.  Про­дол­жим бо­ко­вые AB и CD сто­ро­ны тра­пе­ции ABCD до точки пе­ре­се­че­ния в точке E. Пусть точка  M  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния BC, и пусть пря­мая ЕM пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке N. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BEM и AEN, а также тре­уголь­ни­ков EMC и END на­хо­дим:

Сле­до­ва­тель­но, точка N  — се­ре­ди­на AD.

Итак, пря­мая MN, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний тра­пе­ции, со­дер­жит точки E и O.

При­ме­ча­ние.

До­ка­за­тель­ства при по­мо­щи век­то­ров и при по­мо­щи го­мо­те­тии при­ве­де­ны в за­да­ни­ях 4212 и 4159.