Обо­зна­чим Е точку пе­ре­се­че­ния про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон AB и CD тра­пе­ции ABCD, пусть точки N и M со­от­вет­ствен­но  — се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний AD и BC.

1.  По за­ме­ча­тель­но­му свой­ству тра­пе­ции (см. 3404) точки E, M, N лежат на одной пря­мой. Так как тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, углы A и D при ее ос­но­ва­нии равны, а по­то­му тре­уголь­ник AED  — рав­но­бед­рен­ный. Его ме­ди­а­на EN яв­ля­ет­ся также вы­со­той. Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная од­но­му из ос­но­ва­ний тра­пе­ции, пер­пен­ди­ку­ляр­на и дру­го­му. Сле­до­ва­тель­но, пря­мая MN, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­ни­ям.

2.  Ось сим­мет­рии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AED со­дер­жит его вы­со­ту EN, про­ве­ден­ную к ос­но­ва­нию. По­это­му и тра­пе­ция ABCD сим­мет­рич­на от­но­си­тель­но пря­мой MN, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний.

При­ме­ча­ние.

Из до­ка­зан­но­го сле­ду­ет, что от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, яв­ля­ет­ся её вы­со­той. От­ме­тим до­пол­ни­тель­но, что со­глас­но за­ме­ча­тель­но­му свой­ству тра­пе­ции, эта вы­со­та про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции.