Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности. Многоугольники называются вписанными в окружность.
1°. Окружность, описанная вокруг треугольника.
Теорема 1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.
Точка О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника равноудалена от его вершин, поэтому отрезки, проведённые из точки О к вершинам треугольника А, В и С, равны. Следовательно, окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника ABC и, значит, является описанной вокруг этого треугольника.
Около треугольника можно описать только одну окружность. Действительно, предположим, что можно описать две окружности. Центр каждой из них равноудалён от вершин треугольника, поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Радиус каждой из окружностей равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.
Замечание. Центр окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, лежит внутри треугольника. Если треугольник тупоугольный, центр описанной окружности лежит вне треугольника. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на его стороне.
В частности,
1. Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника со стороной a, выражается через его высоту и сторону формулами: 
2. Центром окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине гипотенузы.