Ва­ри­ант об­хо­да, в ко­то­ром два­жды про­хо­дят­ся толь­ко пять ребер, по­ка­зан на ри­сун­ке. Для удоб­ства точка A на­ча­ла и точка B конца об­хо­да от­ме­че­ны. Оран­же­вым цве­том вы­де­ле­ны ребра, прой­ден­ные еди­нож­ды, а синим  — те, ко­то­рые при­ш­лось обой­ти два­жды. Цифры со­от­вет­ству­ют по­ряд­ку про­хож­де­ния. Всего ребер 30, а обо­шли 35.

До­ка­жем, что 5  — это ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство. При об­хо­де не­об­хо­ди­мо выйти из на­чаль­ной вер­ши­ны, войти и выйти изо всех осталь­ных вер­шин, кроме ко­неч­ной, затем войти в ко­неч­ную вер­ши­ну. Сле­до­ва­тель­но, каж­дая из 10 про­ме­жу­точ­ных вер­шин ико­са­эд­ра долж­на быть прой­де­на чет­ное число раз. В  вер­ши­нах схо­дят­ся по пять ребер, по­это­му по­на­до­бит­ся один до­пол­ни­тель­ных выход, а всего их долж­но быть не менее 10. Каж­дой паре выход-вход со­от­вет­ству­ет одно ребро, а по­то­му не­об­хо­ди­мо не менее 5 про­хо­дов по реб­рам.

Ответ: 5.