ТОЧКА W
10. Факты. Рассмотрим несколько фактов, связанных с точкой W пересечения биссектрисы угла треугольника c описанной вокруг треугольника окружностью, отличную от вершины треугольника. Справедливы теоремы.
ТЕОРЕМЫ
1. Точка W пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром к противоположной стороне лежит на описанной окружности данного треугольника.
2. (Лемма о трилистнике/трезубце) Эта точка равноудалена от инцентра и от противолежащих данному углу двух вершин треугольника и центра вневписаннной окружности.
3. Биссектриса угла между неравными сторонами треугольника делит пополам угол между проведёнными из вершины того же угла высотой треугольника и радиусом описанной окружности.
4. Точка W является:
а) серединой меньшей дуги BC окружности, описанной вокруг треугольника ABC;
б) точкой пересечения биссектрисы угла A треугольника ABC и серединного перпендикуляра к стороне BC;
в) центром окружности, описанной около треугольника BIC;
г) центром окружности, описанной вокруг четырёхугольника BICIa.
5. Описанная окружность делит отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей, пополам.
6. (Внешняя лемма о трезубце) Точка W' пересечения биссектрисы внешнего угла A треугольника ABC с описанной окружностью треугольника ABC делит дугу BC пополам и равноудалена от точек B, C и двух центров вневписанных окружностей, касающихся сторон AB и AC.
Докажем теорему 1. Введем обозначения, как показано на рисунке сверху, точка О — описанной окружности. Продолжим биссектрису угла A до пересечения с описанной окружностью в точке W. Дуги BW и CW этой окружности равны, поскольку на них опираются равные вписанные углы. Но и серединный перпендикуляр к стороне BC делит дуг ВС пополам. Следовательно, биссектриса и серединный перпендикуляр пересекаются в точке W.
Докажем теорему 2. Пусть биссектриса угла ABC пересекает окружность (рис. 1) в точке W1, делящей дугу АС пополам. Вписанные углы W1WI и W1WС, опирающиеся на равные дуги, равны между собой. Следовательно, треугольники W1WI и W1WС равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, 
Аналогично 
Итак, 
Далее, обозначим Iа центр вневписанной окружности (рис. 2), касающейся стороны BC. Угол между биссектрисой IC внутреннего угла треугольника и биссектрисой 
внешнего угла равен 90°. В прямоугольном треугольнике ICIA отрезок СW равен отрезку IW, значит, углы I и ICW равны; поэтому равны углы IA и IAСW, дополняющие их до 90°, а потому 
Теорема доказана.
Докажем теорему 3. Проведем через точку W диаметр (рис. 3), он параллелен высоте AH, поскольку это два перпендикуляра к стороне BC. Тогда 
как накрест лежащие при параллельных прямых, а 
поскольку треугольник BOM — равнобедренный. Следовательно, 
что и требовалось доказать.
Теорема 4 доказана: она объединяет предыдущие результаты.
Докажем теорему 5. Действительно, по лемме о трилистнике: 
Задачи можно найти здесь: https://mathus.ru/math/lemmatrez.pdf
20. Формула Эйлера. Выведем формулу для расстояния между центрами описанной и вписанной окружностей. Пусть центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC расположены в точках I и O, а их радиусы равны равны r и R соответственно.
Теорема о делении отрезка AW. Инцентр делит отрезок, соединяющий вершину А треугольника с точкой W так, что 
Доказательство. По лемме о трилистнике
Пусть P — проекция инцентра на сторону AB. Из прямоугольного треугольника API находим:
Следовательно,
Примечание. Есть и другие формулы, связанные с этой конструкцией: https://mat.1sept.ru/view_article.php?ID=200901009
Теорема Эйлера. Справедлива формула Эйлера: расстояние d между между центрами описанной и вписанной окружностей и радиусы этих окружностей связаны формулой 
Доказательство. Проведем через точки O и I диаметр окружности. По свойству пересекающихся хорд
откуда следует, что 
Это и дает формулу Эйлера.
Дополнение.
Докажем теорему 6 (Матвей Гащенко, Санкт-Петербург). Стороны W'B и W'C треугольника BW'C равны, поскольку точка W' — середина большей дуги BC, а равные дуги стягивают равные хорды. Проведем CIB, BIC — биссектрисы внешних углов C и B треугольника ABC. Биссектрисы 
внешних углов при вершине A треугольника ABC лежат на одной прямой 
Эта прямая содержит точку W', поскольку углы BAC и BW'C равны как опирающиеся на одну дугу BC, и углы W'AC и BW'C равны как опирающиеся на одну дугу W'C. Углы CAIB и BAIC равны, так как являются половинами вертикальных внешних углов. Также равны углы CBW' и CAW', CBW' и CAIB, поскольку опираются на одни дуги.
Пусть 
и 
тогда:
cледовательно,
Таким образом, угол W'BIC равен углу W'ICB, а потому треугольник W'ICB — равнобедренный, а значит, равны отрезки W'IC и W'B. Аналогично можно получить, что равны отрезки W'IB и W'C. Следовательно, 
Что и требовалось доказать.
